Mes activités de
recherche sont centrées principalement sur la construction et l'étude
des formes modulaires de Jacobi.
Les formes de Jacobi fournissent des outils importants dans de nombreuses branches des mathématiques.
Elles jouent un rôle crucial dans mes recherches.
Elles m'ont permis la résolution de plusieurs problèmes en théorie des nombres.
Elles constituent un croisement entre fonctions elliptiques et formes
modulaires et à ce titre, formes modulaires usuelles et fonctions
elliptiques en sont des exemples.
Elles apparaissent naturellement dans le développement de Fourier des formes modulaires de Siegel et de toute
sorte de formes automorphes. Elles sont liées à des questions
importantes de théorie des nombres: Valeurs spéciales de fonctions
L, étude de la fonction Zêta de Riemann, sommes de Dedekind, lois de réciprocité, périodes de formes modulaires.
Une partie importante de mes travaux a été consacrée à la découverte
des multiples propriétés "cachées" satisfaites par une famille de
formes de Jacobi que j'ai introduit.
Parmi ces propriétés deux d'entre elles jouent un rôle
particulier. Il s'agit de relations de distribution additive et
multiplicative, simples, de nature arithmétique, satisfaites par ces
fonctions.
Une deuxième partie de mes travaux consiste à appliquer
systématiquement ses propriétés pour obtenir des résultats importants concernant les problèmes suivants:
Lois de réciprocité quadratiques pour les corps quadratiques
imaginaires ( géneralisation du théorème de Gauss,)
Constructions d'élements de Stickelberger quadratiques et annulation de groupes de classes relatives( géneralisation du théorème de Stickelberger),
Structure galoisienne des anneaux d'entiers de corps de nombres et
construction de bases normales d'entiers ( géneralisation du théorème
de Hilbert-Speiser), Relation de distribution pour la fonction Zêta de Weierstrass ( améliorant les algorithmes CCR, Atkin et de Schoof sur
les isogénies entre courbes elliptiques), relation de distribution
pour la fonctions de Siegel ( fournit les unités elliptiques et des
résultats d'Iwasawa), construction des sommes multiples de
Dedekind-Apostol-Zagier elliptiques( géneralisation et unification
des théorèmes de Dedekind, Apostol, Zagier, Dieter, Berndt et d'autres).
Par ailleurs c'est en utilisant les relations de distribution multiplicatives qui nous obtenons une amélioration de résultats de
Coates, Kubert et Robert, résultats utilisés par Coates et Wiles dans
leur travail sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, par de
Shalit en théorie d'Iwasawa, par Gillard et Robert dans leur étude
du groupe des unités d'extensions abéliennes de corps quadratiques
imaginaires. Ces mêmes relations nous permettent d'obtenir une formule
qu'on utilise dans l'analyse d'un analogue elliptique de la
conjecture polylogarithmique de Zagier.
Enfin c'est en utilisant le théorème de Liouville du résidu et le
développement de Laurent à nos formes de Jacobi que nous donnons une version elliptique des résultats
classiques d'Apostol, Dedekind, Zagier, Dieter, Berndt et autres.
Dans un récent papier, j'utilise ces formes de Jacobi pour construire
un système d'Euler à l'aide des unités de Weierstrass et déduire des
uniformisantes explicites pour les corps de classes de rayon, ceci
constitue une version elliptique au théorème de l'idéal principal connu pour les extensions cyclotomiques.
Je m'intéresse aux trois problèmes suivants: