REGULARITE ET INTEGRABILITE DES FONCTIONNELLES DE WIENER

par Denis Feyel

Abstract. We prove a kind of generalization of the classical Ascoli theorem to inifinite dimensional gaussian space.

Introduction. Le théorème classique d’Ascoli montre qu’une suite de fonctions dont les dérivées sont uniformément bornées sur [0, 1] est relativement compacte en norme uniforme dès qu’elle est bornée en un point. Il y a des extensions bien connues de cette propriété aux espaces de Sobolev classiques sur IR^{m} (m < ∞), que l’on peut trouver chez Schwartz [Sc, p.40]. On se propose ici d’étendre cela au cas des espaces de Sobolev gaussiens en dimension infinie. Dans le cas particulier des fonctions H-lipschitziennes, ces propriétés sont liées à l’intégrabilité exponentielle étudiée par Pisier [P], Kusuoka [K] et Ustünel [U1-U2].

Dans tout l’article, E est un espace localement convexe lusinien muni d’une mesure gaussienne centrée μ chargeant tous les ouverts. Si f est une fonction sur E, on pose f_{θ}(x, y) = f(x cos θ + y sin θ). L’espace de Sobolev gaussien W^{1,p}(μ) n’est autre que l’espace des f telles que θ → f_{θ} soit de classe C^{1} à valeurs dans L^{p}(μ ⊗ μ). C’est évidemment un sous-espace de L^{p}(μ), qui est un espace de Banach pour sa

norme naturelle. De plus, la fonction f′ = [\frac{df_{θ}}{dθ}]_{θ=0} est linéaire dans sa seconde variable (cf. [F2]).

Le carré du champ Γf est défini par Γf(x) = ∫ f′(x, y)^{2}dμ(y), de sorte que l’on a

N_{p}(\sqrt{Γf}) = a_{p}N_{p}(f′)

où a_{p}^{p} = ∫ |t|^{p} e^{−t^{2}/2} dt/\sqrt{2π}.

1 Lemme : soit une suite f_{n} ∈ W^{1,p}(μ) telle que la suite des \sqrt{Γf_{n}} soit bornée dans L^{p}(μ). Alors la suite des f_{n} − μ(f_{n}) est bornée dans W^{1,p}(μ).

Cet article paraîtra aux proceedings du NATO Advanced Research Workshop on Classical and Modern Potential Theory (Bonas, France), editor K.Gowrisankaran Démonstration : selon une idée de Pisier [P], on a pour presque tout (x, y) ∈ E ×E

f_{n}(y) − f_{n}(x) = ∫_{0}^{π/2} f′_{n}(x cos θ + y sin θ, −x sin θ + y cos θ)dθ

Pour g ∈ L^{q}(μ) avec q = p/(p − 1), on obtient en tenant compte de l’invariance de μ ⊗ μ

∫ [f_{n}(y) − μ(f_{n})]g(y)dμ(y) ≤ ∫_{0}^{π/2} N_{p}(f′_{n})N_{q}(g)dθ

et finalement N_{p}(f_{n} − μ(f_{n})) ≤ \frac{π}{2} N_{p}(f′_{n}) = \frac{π}{2} a_{p}N_{p}(\sqrt{Γf_{n}})

Rappelons ([FLP1]) que la capacité C_{1,p} est définie par

C_{1,p}(h) = Inf{ ∥f∥_{W^{1,p}(μ)} | ∃ g s.c.i. |h| ≤ g ≤ f }

L’espace L^{1}(C_{1,p}) est l’adhérence en (semi-)norme C_{1,p} du sous-espace des fonctions continues bornées . On a une injection linéaire continue canonique de W^{1,p}(μ) dans L^{1}(C_{1,p}). L’image f̃ ∈ L^{1}(C_{1,p}) de f ∈ W^{1,p}(μ) est dite “modification quasicontinue canonique” de f. Les ensembles de C_{1,p}-capacité nulle sont dits “polaires” ou “C_{1,p}-polaires”, et sont μ-négligeables. Une propriété vraie sauf sur un ensemble polaire est dite vraie “quasi-partout”. Enfin le dual de L^{1}(C_{1,p}) est un espace de mesures bornées négligeant les ensembles C_{1,p}-polaires.

2 Proposition : soit f_{n} ∈ W^{1,p}(μ) telle que la suite \sqrt{Γf_{n}} soit bornée dans L^{p}(μ). On suppose que la fonction Sup_{n} |f̃_{n}| est finie quasi-partout sur un ensemble A de capacité C_{1,p}(A) non nulle. Alors la suite f_{n} est bornée dans W^{1,p}(μ).

Démonstration : on prend une mesure ν ≥ 0 appartenant au dual de L^{1}(C_{1,p}) portée par A et de masse ν(1) = 1. On a

f_{n} = f_{n} − μ(f_{n}) − ν(f̃_{n} − μ(f_{n})) + ν(f̃_{n})

de sorte que f_{n} est la somme de trois termes tous bornés dans W^{1,p}(μ) (les deux derniers sont des suites de constantes).

3 Théorème : soit f_{n} une suite croissante. On suppose la suite \sqrt{Γf_{n}} bornée dans L^{p}(μ). Si l’enveloppe supérieure Sup_{n} f̃_{n} des modifications canoniques est finie sur un ensemble de capacité non nulle, alors la suite f̃_{n} converge fortement dans L^{1}(C_{1,p}).

Démonstration : la proposition 2 montre que la suite f_{n} converge faiblement dans W^{1,p}(μ) vers f = Sup_{n} f_{n}. Alors la suite f̃_{n} converge faiblement vers f̃ dans L^{1}(C_{1,p}). La suite f̃ − f̃_{n} est décroissante de sorte que l’on peut appliquer le lemme de Dini à la boule unité positive du dual de L^{1}(C_{1,p}) (cf. [F2]), et que C_{1,p}(f̃− f̃_{n}) tend vers 0.

4 Théorème : soit f_{n} une suite appartenant à W^{1,p}(μ). On note h̃ et g̃ les limites supérieures et inférieures de la suite des modifications canoniques f̃_{n}. On suppose que la suite \sqrt{Γf_{n}} est \underline{dominée} dans L^{p}(μ), et que la fonction Sup_{n} f̃_{n} est finie presque partout sur un ensemble de C_{1,p}-capacité non nulle. Alors h̃ et g̃ appartiennent à W^{1,p}(μ) ∩ L^{1}(C_{1,p}). De plus, si la suite f̃_{n} converge presque partout, elle converge quasi-partout et fortement dans L^{1}(C_{1,p}).

Démonstration : on applique d’abord le théorème 3 à la suite v_{n} = f_{1} ∨f_{2} ∨…∨f_{n}, ce qui est loisible vu la relation Γv_{n} ≤ Sup_{n} Γf_{n}, et la propriété de domination dans L^{p}(μ). Donc ṽ = sup_{n} f̃_{n} appartient à L^{1}(C_{1,p}). Le même raisonnement s’applique bien sûr aux deux suites h_{n} = f_{n} ∧ f_{n+1} ∧ … et g_{n} = f_{n} ∨ f_{n+1} ∨ …, de sorte que h̃ appartient à L^{1}(C_{1,p}), et que h̃_{n} converge fortement vers h̃ dans L^{1}(C_{1,p}). On a évidemment la propriété analogue pour g̃. Ensuite, si l’on a h̃ = g̃ presque partout, on a nécessairement h̃ = g̃ quasi-partout, et la suite C_{1,p}(h̃_{n} −g̃_{n}) tend vers 0 grâce au lemme de Dini comme au théorème 3. On a enfin C_{1,p}(h̃ − f̃_{n}) ≤ C_{1,p}(h̃_{n} − g̃_{n}), ce qui termine la démonstration.

Exemples : i) soit E = IR^{IN} muni de sa gaussienne canonique μ. Si f ∈ W^{1,p}(μ), la suite des espérances conditionnelles f_{n} sur les sous-tribus canoniques 𝔉_{n} vérifie les hypothèses du théorème 4, car la suite \sqrt{Γf_{n}} forme une sous-martingale bornée dans L^{p}(μ). Alors les f̃_{n} convergent quasi-partout et fortement dans L^{1}(C_{1,p}).

ii) soit P_{t} le semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck, et soit f ∈ W^{1,p}(μ). Il résulte du théorème de ergodique de Stein [St] que P_{t}f converge presque partout vers f quand t tend vers 0, et que les fonctions \sqrt{ΓP_{t}f_{n}} ≤ e^{−t} P_{t}\sqrt{Γf_{n}} sont dominées dans L^{p}(μ) pour t < 1. Par ailleurs, P_{t}f est quasi-continu pour t > 0, de sorte que P_{t}f converge C_{1,p}-quasi-partout vers f̃.

5 Remarque : pour p = 2 (espace de Dirichlet), des résultats de ce type ont été obtenus par Bouleau et Hirsch ([BH]). Signalons aussi les résultats de L.Denis ([D]).

6 Remarque : on peut étendre le théorème 4 à une suite de fonctions f_{n} à valeurs banachiques. Il suffit de remarquer que l’on a toujours Γ∥f_{n}∥ ≤ Γf_{n}.

Indiquons enfin une conséquence immédiate du théorème 4 :

7 Proposition : si une suite f_{n} ∈ W^{1,p}(μ) converge en mesure, et si la suite \sqrt{Γf_{n}} est dominée dans L^{p}(μ), alors la suite f̃_{n} converge dans L^{1}(C_{1,p}).

Fonctions H-lipschitziennes de rapport 1

Rappelons que l’espace H de Cameron-Martin est compactement inclus dans E, et est en dualité hilbertienne avec l’espace H′ complété de E′ (dual de E) muni de la topologie induite par L^{2}(μ).

On s’intéresse maintenant aux fonctions f finies presque partout et telles que N_{∞}(Γf) ≤ 1. (Cela entraîne que f ∈ ∩_{p}W^{1,p}(μ) d’après notre théorème 4 appliqué à la suite nArctg(f/n)).

On sait alors d’après Enchev et Stroock [ES] que f admet une modification f̃ qui est H-lipschitzienne de rapport 1 , c’est à dire vérifie

(1)  f̃(x + u) ≤ f̃(x) + |u|_{H}

pour tout couple (x, u) ∈ E × H. Il est d’ailleurs facile d’obtenir f̃ en considérant une suite d’espérances conditionnelles comme dans l’exemple qui suit le théorème 4. Les fonctions f̃_{n} sont continues, et leur limite supérieure f̃vérifie (1). On notera que la fonction f̃ appartient à ∩_{p}L^{1}(C_{1,p}).

8 Théorème : soient A et B deux ensembles boréliens complémentaires sur lesquels on a respectivement f ≤ c et f ≥ c presque partout. Alors pour tout λ ≥ 0

(2)  μ(\{ |f − c| > λ \}) ≤ ∫_{λ+α}^{+∞} e^{−t^{2}/2} dt/\sqrt{2π} + ∫_{λ−α}^{+∞} e^{−t^{2}/2} dt/\sqrt{2π}

où α est défini par μ(A) = Erf(α) = ∫_{−∞}^{α} e^{−t^{2}/2} dt/\sqrt{2π}.

Démonstration : notons φ_{A} la H-distance à A définie par

φ_{A}(x) = Inf{ |x − y|_{H} | y ∈ A }

(cf. [FLP2]). On a f − c ≤ φ_{A} et −f + c ≤ φ_{B} , donc |f − c| ≤ φ_{A} ∨ φ_{B}. La formule (2) découle alors de l’inégalité de Borell [B] selon laquelle μ({ φ_{A} > λ }) ≤ 1 − Erf(λ + α) et μ({ φ_{B} > λ }) ≤ 1 − Erf(λ − α) car μ(B) = 1 − μ(A) = 1 − Erf(α) = Erf(−α).

9 Remarque : le second membre de (2) vaut aussi 2 − 2Erf(λ) + α^{2}ξ e^{−ξ^{2}/2} /\sqrt{2π} où ξ est un nombre de l’intervalle [λ − α, λ + α].

Disons que c est une médiane de f si l’on est dans les conditions du théorème 8 et si de plus A et B sont complémentaires. Une telle médiane existe toujours car μ est diffuse.

10 Corollaire : si c est une médiane de f, on a

(3)  μ(\{ |f − c| > λ \}) ≤ 2 ∫_{λ}^{+∞} e^{−t^{2}/2} dt/\sqrt{2π}

et

(4)  ∫ exp(α|f − c|^{2})dμ ≤ \frac{1}{\sqrt{1 − 2α}}

Démonstration : en effet, dans ce cas μ(A) = μ(B) = \frac{1}{2}, donc α = 0. L’inégalité (4) se déduit de (3) par un calcul facile.

11 Remarque : la méthode d’Ustünel [U1-U2], utilisant la formule de Clark, convient au cas où la médiane c est remplacée par la moyenne μ(f). On trouve alors la majoration (4’) ∫ exp(α|f − μ(f)|^{2}) ≤ 1/\sqrt{1 − 2α}, mais on ne trouve que la majoration (3’) μ({ |f − μ(f)| > λ }) ≤ 2 exp(−λ^{2}/2) moins précise que (3). Cependant Kusuoka [K] cite la majoration (3) avec μ(f) au lieu de c.

12 Corollaire : la fonction exp(αf^{2}) est intégrable pour 2α < 1.

13 Remarque : soit q une semi-norme généralisée et finie presque partout sur E. Il est bien facile de voir que q est majorée par une semi-norme analogue q_{1} borélienne sur E. La restriction de q_{1} à H est alors finie continue car H est inclus dans tout sous-espace de E portant μ (cf. [FLP3]). Il en est bien sûr de même de la restriction de q à H. Mais alors q/σ est H-lipschitzienne de rapport 1 pour σ convenable, et par suite q ∈ ∩_{p}W^{1,p}(μ), ce qui redémontre le théorème bien connu de Fernique. On sait aussi par ailleurs ([FLP1]) que q ∈ ∩_{p}L^{1}(C_{1,p}) (et même mieux).

Problème : si f est H-lipschitzienne de rapport 1 , elle a une modification f̃ qui est H-lipschitzienne de rapport 1 et C_{1,p}-quasi-continue pour tout p > 1. Mais f elle-même est-elle C_{1,p}-quasi-continue ? C’est bien sûr le cas en dimension finie.

Bibliographie

[B] \underline{Ch.Borell} The Brunn-Minkowski Inequality in Gauss Space Inventiones Math. 30,207-216, (1975)

[BH] \underline{N.Bouleau, F.Hirsch} Dirichlet Forms and Analysis on Wiener Space de Gruyter Studies in Math. 14, (1991)

[D] \underline{L.Denis} Convergence quasi-partout pour les capacités définies par un semigroupe sous-markovien CRAS, Paris, série I, t.315, (1992)

[ES] \underline{O.Enchev, D.W.Stroock} Rademacher’s Theorem for Wiener Functionals Ann. Probab. 21 n^{o}1 (1993)

[F1] \underline{D.Feyel} Espaces de Banach adaptés, quasi-topologie et balayage Sém. Théorie du Potentiel, Paris, Lec.Notes in Math. 681, Springer, (1978)

[F2] \underline{D.Feyel} Transformations de Hilbert-Riesz CRAS, Paris, série I, t.310, 653-655, (1990)

[FLP1] \underline{D.Feyel, A.de La Pradelle} Capacités gaussiennes Ann. Inst. Fourier, t.41, f.1, p.49-76, (1991)

[FLP2] \underline{D.Feyel, A.de La Pradelle} Démonstration géom. d’une loi de tout ou rien Publication de l’Université d’Evry-Val d’Essonne, (1993)

[FLP3] \underline{D.Feyel, A.de La Pradelle} Opérateurs linéaires gaussiens A paraître in Potential Analysis (1992)

[K] \underline{S.Kusuoka} Analysis on Wiener Spaces.I. J.of Functional Analysis, 98,122-168, (1991)

[P] \underline{G.Pisier} Probabilistic methods in the Geometry of Banach spaces Probability and Analysis, Varenna-Como 1985, LN.in Math n^{o}1206, (1986)

[Sc] \underline{L.Schwartz} Théorie des distributions, tome II Paris, Hermann, ASI 1122, (1959)

[St] \underline{E.M.Stein} Singular integrals and differentiability properties of functions Princeton University Press, (1970)

[U1] \underline{A.S.Ustünel} Intégrabilité exponentielle des fonctionnelles de Wiener CRAS, série I, t.315,997-1000, (1992)

[U2] \underline{A.S.Ustünel} Exponential tightness of the Wiener Functionals Preprint Series, University of Oslo, ISBN 82-553-0854-7, (1993)