17 mai 1994

SUR LES DRAPS DE DIMENSION INFINIE

par Denis Feyel et Arnaud de La Pradelle

Introduction. Dans des travaux récents ([13],[14]), S.Song a montré comment caractériser les ensembles W^{2,n}-polaires à l’aide des draps d’Ornstein-Uhlenbeck. Ensuite, J.Bauer [1],[2] a étendu la construction de Song à des multi-processus d’Ornstein-Uhlenbeck généralisés au sens de [9],[10] et vérifiant une hypothèse de régularité (hypothèse (R)).

Entretemps, F.Hirsch appliquait les méthodes de Song à des multi-processus associés à des systèmes de semi-groupes de convolution. Dans les cas du type Ornstein-Uhlenbeck, les draps obtenus sont d’un type différent du brownien classique en ce sens qu’ils ne s’annulent pas sur les axes.

Nous nous proposons ici de modifier la construction de Song et Bauer en partant d’un drap brownien non nul sur les axes, et en obtenant le drap d’Ornstein-Uhlenbeck généralisé comme solution d’un système d’équations aux dérivées partielles stochastique linéaire (du type de Langevin). On est amené pour cela à décrire précisément l’espace de Cameron-Martin associé à la mesure de Wiener généralisée construite à partir de quatre mesures gaussiennes centrées sur un espace localement convexe lusinien.

Lorsque les quatre mesures de base sont égales, le drap d’Ornstein-Uhlenbeck obtenu est stationnaire.

Il faut remarquer que la condition (F4) de Cairoli et Walsh résulte immédiatement de la construction du drap brownien, alors que chez Song et Bauer, cette condition résultait de la propriété de Markov convenablement interprétée. Ici, c’est au contraire la propriété de Markov qui résulte de (F4), et qui permet de calculer le semi-groupe de transition à deux ou plusieurs paramètres associé au drap considéré. On trouve la quantification Γ(e^{−sA−tB}) pour deux paramètres, A et B étant deux opérateurs commutant et non bornés de l’espace de Cameron-Martin.

Remarquons aussi que la capacité naturelle associée au drap est tendue sur les compact sous l’hypothèse de régularité. C’est d’ailleurs cette même hypothèse qui permet de résoudre le système stochastique de Langevin.

Enfin, dans le cas que nous étudions, comme dans les travaux de Hirsch, le drap obtenu n’est pas symétrique.

D.Feyel, A.de La Pradelle

L’essentiel de l’article concerne d’abord le drap brownien à deux indices, puis de drap d’Ornstein-Uhlenbeck généralisé à deux indices. Dans les dernières parties, on généralise rapidement à plusieurs indices, et on indique comment on peut obtenir les inégalités de Song.

\underline{Notation} : si γ est une mesure gaussienne centrée sur un espace localement convexe lusinien F, on désigne toujours par H(γ) son espace de Cameron-Martin. Rappelons qu’ on a toujours compactement H(γ) ⊂ F.

I. \underline{Rappels sur le mouvement brownien}

Soit E un espace localement convexe lusinien. Nous supposons que E est fortement convexe, c’est-à-dire que l’enveloppe convexe fermée de tout compact est compacte. Si (ξ, λ) est un couple de mesures gaussiennes centrées sur E, il existe une unique mesure gaussienne centrée θ sur C(IR_{+}, E) telle que le processus des coordonnées W_{t} soit un mouvement brownien issu de ξ et de loi λ. Cela signifie que

IE(f(W_{s})g(W_{t})) = ∫ fgdξ + (s ∧ t) ∫ fgdλ = ∫ fgd(ξ ∗ λ_{s∧t})

pour tout couple (f, g) de formes linéaires continues sur E. Dans cette formule, λ_{t} désigne la puissance de convolution. Cela résulte de [9],[10]. En particulier, W_{t}(θ) = ξ ∗ λ_{t}.

Rappelons que θ est portée par un sous-espace lusinien (de type K_{σ}) Ω ⊂ C(IR_{+}, E).

Le sous-espace de Cameron-Martin H(ξ, λ) = H(θ) est constitué des trajectoires particulières ω(t) vérifiant

∥ω∥^{2} = ∥ω(0)∥_{ξ}^{2} + ∫_{0}^{∞} ∥ω′(t)∥_{λ}^{2}dt < +∞

où les indices ξ et λ désignent les normes prises dans les espaces de Cameron-Martin H(ξ) et H(λ). On a toujours H(ξ, λ) ⊂ Ω.

Nous dirons aussi que θ est la mesure de Wiener associée au triplet (E, ξ, λ).

Sur les draps de dimension infinie

Si F est une forme linéaire θ-mesurable sur Ω, associée à l’élément f ∈ H(ξ, λ), on a

F = ⟨f(0), W_{0}⟩_{ξ} + ∫_{0}^{∞}⟨f′(t), dW_{t}⟩_{λ}

où la deuxième intégrale converge au sens de Wiener-Itô.

Remarquons enfin que le processus W̃_{t} = W_{a+t} est un mouvement brownien issu de ξ ∗ λ_{a} et de loi λ.

II. \underline{Draps browniens}

Considérons maintenant quatre mesures gaussiennes centrées (κ, ξ, η, λ) sur E, et l’espace H(κ, ξ, η, λ) des fonctions ω ∈ C(IR_{+}^{2}, E) qui s’écrivent sous la forme

(1) ω(s, t) = ω(0, 0) + ∫ s_{0} φ(u)du + ∫ t_{0} ψ(v)dv + ∫∫u ≤ s, v ≤ t g(u, v)dudv

et telles que la norme définie par

(2) ∥ω∥^{2} = ∥ω(0, 0)∥_{κ}^{2} + ∫_{0}^{∞} ∥φ(s)∥_{ξ}^{2}ds + ∫_{0}^{∞} ∥ψ(t)∥_{η}^{2} dt + ∫∫_{IR_{2}_{+}} ∥g(s, t)∥_{λ}^{2}dsdt

soit finie, les indices désignant les normes de Cameron-Martin correspondantes. Posons ω̃(s) = [t → ω(s, t)]. On a

ω̃(s) = ω̃(0) + ∫ s_{0} Φ(u)du

où ω̃(0) = ω(0, 0) + ∫_{0}^{.} ψ(v)dv ∈ H(κ, η), et

Φ(u) = φ(u) + ∫_{0}^{.} g(u, v)dv ∈ L^{2}(IR_{+}, H(ξ, λ))

Considérons les mesures de Wiener ν et θ sur un sous-espace lusinien Ω_{1} ⊂ C(IR_{+}, E) asociées aux couples (κ, η) et (ξ, λ). On a

∥ω∥^{2} = ∥ω̃(0)∥_{ν}^{2} + ∫_{0}^{∞} ∥Φ(u)∥_{θ}^{2}du

Soit μ̃ la mesure de Wiener μ̃ sur C(IR_{+}, Ω) associée au couple (ν, θ). On déduit de l’isométrie précédente que H(κ, ξ, η, λ) est exactement l’espace de Cameron-Martin de la mesure μ image de μ̃ par l’isomorphisme ω̃ → ω. On a donc montré

1 Théorème : soit E un espace localement convexe lusinien muni d’un quadruplet (κ, ξ2, η, λ) de mesures gaussiennes centrées. Il existe une unique mesure μ sur C(IR_{+}^{2}, E) ayant H(μ) = H(κ, ξ, η, λ) pour espace de Cameron-Martin.

2 Remarque : a) on notera que μ est portée par un sous-espace lusinien Ω_{2} de C(IR_{+}^{2}, E). Evidemment Ω_{2} contient nécessairement H.

b) on a du même coup démontré l’ existence du drap brownien finidimensionnel. Le processus des coordonnées (W_{s,t})_{(s,t)∈IR_{+}^{2}} admet l’unique décomposition

(3)  W_{s,t} = W_{0,0} + X_{s} + Y_{t} + Z_{s,t}

où X_{s} et Y_{t} sont nuls en 0 et Z_{s,t} nul sur les axes.

Si f et g sont deux formes linéaires continues sur E on trouve

IE[f(W_{s,t})g(W_{s′,t′})] = ∫ fgdρ_{σ,τ}

où ρ_{σ,τ} = κ ∗ ξ_{σ} ∗ η_{τ} ∗ λ_{στ} avec σ = Inf(s, s′) et τ = Inf(t, t′).

En particulier, W_{0,0} est une v.a. de loi κ, X est un mouvement brownien nul en 0 et de loi ξ, Y un mouvement brownien nul en 0 et de loi η, enfin Z est un drap brownien nul sur les axes, et de loi λ. Cette formule de covariance prouve que les quatre processus sont indépendants.

Enfin, toute forme linéaire μ-mesurable F admet la représentation de Wiener-Itô

\begin{aligned}F (ω) & = ⟨f(0, 0), W_{0,0}(ω)⟩_{κ} + ∫_{0}^{∞}⟨φ(s), dX_{s}(ω)⟩_{ξ}+ \\ & + ∫_{0}^{∞}⟨ψ(t), dY_{t}(ω)⟩_{η} + ∫∫_{IR_{2}_{+}}⟨g(s, t), d^{2}Z_{s,t}(ω)⟩_{λ} \end{aligned}

Dans cette formule les trois premiers termes ont le sens ordinaire ([9],[10]). Le dernier terme désigne l’unique prolongement linéaire μ-mesurable de la forme linéaire continue G sur H(μ) définie par

G(u) = ∫∫_{IR_{2}_{+}}⟨g(s, t), \frac{∂^{2}u}{∂s∂t}⟩dsdt

Dans le cas où l’espace d’états est de dimension finie, cette intégrale est un cas particulier de l’intégrale double définie par Wong et Zakaï ([15]).

3 Proposition : le drap W̃_{s,t} = W_{a+s,b+t} est brownien, de la forme

W̃_{s,t} = W̃_{0,0} + X̃_{s} + Ỹ_{t} + Z̃_{s,t}

où W̃_{0,0} est une v.a. de loi κ ∗ ξ_{a} ∗ η_{b} ∗ λ_{ab}, X̃ est un mouvement brownien nul en 0, et de loi ξ ∗ λ_{b}, Ỹ un mouvement brownien nul en 0 et de loi η ∗ λ_{a}, enfin Z̃ est un drap brownien nul sur les axes, et de loi λ. Les quatre processus sont indépendants.

On note 𝔉_{s} la tribu engendrée par les W_{u,t} pour 0 ≤ u ≤ s, 0 ≤ t < +∞, 𝔊_{t} la tribu engendrée par les W_{s,v} pour 0 ≤ s < +∞, 0 ≤ v ≤ t, et ℜ_{s,t} la tribu engendrée par les W_{u,v} pour 0 ≤ u ≤ s, 0 ≤ v ≤ t.

4 Proposition : on a ℜ_{s,t} = 𝔉_{s} ∩ 𝔊_{t} pour tout (s, t), de plus les tribus 𝔉_{s} et 𝔊_{t} sont conditionnellement indépendantes par rapport à ℜ_{s,t}. Cela signifie que la condition (F4) de Cairoli et Walsh est satisfaite ([3]).

Démonstration : : si 𝔉 est une sous-tribu, nous notons encore 𝔉 l’opérateur d’espérance conditionnelle associé. Si de plus 𝔉 est une sous-tribu gaussienne, c’est à dire engendrée par un sous-espace fermé F de H′, on connaît ([8]) la relation

𝔉 = Γ(π_{F})

où π_{F} est la projection orthogonale sur le sous-espace de H correspondant à F dans l’isomorphisme canonique de H sur H′, et où Γ est l’opérateur de quantification. Soient donc F_{s} et G_{t} les sous-espaces de H′ associés aux tribus 𝔉_{s} et 𝔊_{t}, et J_{s,t} = F_{s} ∩ G_{t}. On a

π_{J_{s,t}} = π_{F_{s}} ∘ π_{G_{t}} = π_{G_{t}} ∘ π_{F_{s}}

donc

ℜ_{s,t} = Γ(π_{J_{s,t}}) = 𝔉_{s} ∘ 𝔊_{t} = 𝔊_{t} ∘ 𝔉_{s}

la dernière égalité prouve l’indépendance conditionnelle par rapport à 𝔉_{s} ∩ 𝔊_{t}, et la première égalité prouve que ℜ_{s,t} = 𝔉_{s} ∩ 𝔊_{t}.

III. \underline{Draps d’Ornstein-Uhlenbeck}

Soient C_{s} = e^{−sA} et S_{t} = e^{−tB} deux semi-groupes hermitiens contractant dans l’espace H(κ∗ξ∗η∗λ). On suppose que C_{s} et S_{t} opèrent en semi-groupes contractant hermitiens et fortement continus dans chacun des quatre espaces de Cameron-Martin. On suppose en outre qu’ils commutent.

Considérons le problème de Cauchy-Langevin

(4)  \begin{cases}ω̃(0, 0) & = ω(0, 0) \\ (A + \frac{∂}{∂s}) ω̃(s, 0) & = φ(s) = \frac{∂ω}{∂s} (s, 0) \\ (B + \frac{∂}{∂t}) ω̃(0, t) & = ψ(t) = \frac{∂ω}{∂t} (0, t) \\ (B + \frac{∂}{∂t})(A + \frac{∂}{∂s}) ω̃(s, t) & = g(s, t) = \frac{∂^{2}ω}{∂s∂t} \end{cases}

pour ω(0, 0) ∈ H(κ), φ(s) = \frac{∂ω}{∂s} (s, 0) ∈ L^{2}(IR_{+}, H(ξ)), ψ(t) = \frac{∂ω}{∂t} (0, t) ∈

L^{2}(IR_{+}, H(η)), g(s, t) = \frac{∂^{2}ω}{∂s∂t}(s, t) ∈ L^{2}(IR_{+}^{2}, H(λ)). Ce système admet la solution unique

(5)

\begin{aligned}H(ω)_{s,t} = ω̃(s, t) & = C_{s}S_{t}ω(0, 0) + S_{t} ∫ s_{0} C_{s−u}φ(u)du+ \\ & + C_{s} ∫ t_{0} S_{t−v}ψ(v)dv + ∫∫u ≤ s, v ≤ t C_{s−u}S_{t−v}g(u, v)dudv \end{aligned}

où ω̃ ∈ H(κ, ξ, η, λ). L’application H définit ainsi un opérateur continu de H(κ, ξ, η, λ) = H(μ). Elle admet donc un unique prolongement linéaire μmesurable sur l’espace Ω_{2} ⊂ C(IR_{+}^{2}, E) qui est donné par

(6)  \begin{aligned}H_{s,t} & = C_{s}S_{t}H_{0,0} + S_{t} ∫ s_{0} C_{s−u}dX_{u}+ \\ & + C_{s} ∫ t_{0} S_{t−v}dY_{v} + ∫∫u ≤ s, v ≤ t C_{s−u}S_{t−v}d^{2}Z_{u,v} \end{aligned}

où les deux premières intégrales stochastiques ont le sens de Wiener-Itô faible de [9],[10], et de la même manière, l’intégrale stochastique double est obtenue par prolongement linéaire μ-mesurable de l’intégrale double ordinaire qui à w ∈ H associe ũ ∈ H définie par

ũ(s, t) = ∫∫u ≤ s, v ≤ t C_{s−u}S_{t−v} \frac{∂^{2}w}{∂u∂v} dudv

On en déduit que H_{s,t}, (drap d’Ornstein-Uhlenbeck) est à trajectoires continues.

5 Proposition : on introduit le processus auxiliaire

(7)  U_{s,t} = S_{t}(H_{0} + X_{s}) + ∫ t_{0} S_{t−v}dY_{v} + ∫∫u ≤ s, v ≤ t S_{t−v}d^{2}Z_{u,v}

Alors U est brownien en s et d’Ornstein-Uhlenbeck généralisé en t au sens de [9],[10]. De plus, on a

(8)  H_{s,t} = C_{s}H_{0,t} + ∫ s_{0} C_{s−u}d_{u}U_{u,t}

Démonstration : : U_{s,t} est solution du problème de Cauchy-Langevin (4) dans lequel on a fait A = 0. Rappelons qu’elle est obtenue par prolongement linéaire μ-mesurable de la solution du même problème posé dans H(μ). Cette dernière propriété justifie la deuxième équation.

6 Corollaire : pour s ≤ S et t ≤ T, on a

ℜ_{s,t}H_{S,T} = C_{S−s}S_{T −t}H_{s,t}

Démonstration : : on a d’abord 𝔉_{s}U_{S,T} = U_{s,T} puis ℜ_{s,t}U_{S,T} = 𝔊_{t}U_{s,T} = S_{T −t}U_{s,t}. Ensuite on applique la deuxième équation de la proposition 5, ce qui fournit le résultat.

Nous faisons maintenant l’hypothèse suivante de régularité :

\underline{Hypothèse (R)} : les deux opérateurs \sqrt{A}, \sqrt{B} et \sqrt{AB} sont respectivement prolongeables en opérateurs linéaires ξ- (resp.η-, resp.λ-) mesurables de E.

7 Proposition : le processus

(9) \begin{aligned}H_{s,t} & = C_{s}S_{t}H_{0,0} + S_{t}\sqrt{2A} ∫ s_{0} C_{s−u}dX_{u}+ \\ & + C_{s}\sqrt{2B} ∫ t_{0} S_{t−v}dY_{v} + \sqrt{4AB} ∫∫u ≤ s, v ≤ t C_{s−u}S_{t−v}d^{2}Z_{u,v} \end{aligned}

est presque sûrement à trajectoires continues.

Démonstration : : posons κ̃ = κ, ξ̃ = \sqrt{2A}(ξ), η̃ = \sqrt{2B}(η), λ̃ = \sqrt{4AB}λ, et soit μ̃ la mesure associée au quadruplet (k̃, ξ̃, η̃, λ̃) par le théorème 1. La formule (9) est l’image de la formule (6) par le changement de mesure (cf. [9],[10] pour le cas des processus à un seul indice).

8 Remarque : cela revient en fait à changer les espaces de Cameron-Martin, i.e. à considérer le problème de Cauchy-Langevin

\begin{cases}ω̃(0, 0) & = ω(0, 0) \\ (A + \frac{∂}{∂s}) ω̃(s, 0) & = \sqrt{2A} φ(s) = \sqrt{2A} \frac{∂ω}{∂s} (s, 0) \\ (B + \frac{∂}{∂t}) ω̃(0, t) & = \sqrt{2B} ψ(t) = \sqrt{2B} \frac{∂ω}{∂t} (0, t) \\ (B + \frac{∂}{∂t})(A + \frac{∂}{∂s}) ω̃(s, t) & = \sqrt{4AB} g(s, t) = \sqrt{4AB} \frac{∂^{2}ω}{∂s∂t} \end{cases}

9 Proposition : pour s ≤ S, et t ≤ T, on a

(10)  𝔉_{s,t}H_{S,T} = C_{S−s}S_{T −t}H_{s,t}

De plus, si κ = ξ = η = λ, la loi de H_{s,t} est λ.

Démonstration : : la formule (10) se démontre comme la formule (8). D’autre part, on a comme en proposition 5 un processus auxiliaire

(11) U_{s,t} = S_{t}(H_{0} + X_{s}) + \sqrt{2B} ∫ t_{0} S_{t−v}dY_{v} + \sqrt{2B} ∫∫u ≤ s, v ≤ t S_{t−v}d^{2}Z_{u,v}

vérifiant

(12)  H_{s,t} = C_{s}H_{0,t} + \sqrt{2A} ∫ s_{0} C_{s−u}d_{s}U_{u,t}

Si les quatre mesures sont égales à λ, un calcul simple appliqué à (11) montre que pour f ∈ H′

IE(f(U_{s,t} − U_{0,t})^{2}) = s|f|_{λ}^{2}

Le même calcul appliqué alors à (12) montre que

IE(f(H_{s,t})^{2}) = |f|_{λ}^{2}

Utilisant alors la formule (10), on arrive à la relation

IE[f(H_{s,t})g(H_{s′,t′})] = ⟨C_{|s−s′|}S_{|t−t′|}f, g⟩

pour f et g dans H′_{λ}, ce qui prouve que le drap est stationnaire.

10 Théorème : on suppose que les quatre mesures κ, ξ, η, λ sont égales. Alors H_{s,t} est un “drap markovien”, et admet le double semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck

(13) Γ(e^{−sA} e^{−tB})f(x) = ∫∫ f(C_{s}S_{t}x+C′_{s}S_{t}y+C_{s}S′_{t}u+C′_{s}S′_{t}v)dλ(y)dλ(u)dλ(v)

comme semi-groupe de transition. De plus, le processus d’Ornstein-Uhlenbeck H_{s,t} est stationnaire.

Démonstration : : on a posé C′_{s} = \sqrt{I − C_{s}^{2}}, S′t = \sqrt{I − S_{t}^{2}}, ce qui a un sens d’après [8]. D’abord la formule (13) s’obtient en remarquant que la répartition de (u, v) → C_{s}u + C′_{s}v sous λ ⊗ λ vaut λ d’après [9],[10]. On raisonne ensuite comme dans [10] : tout revient à montrer que pour tous S > 0 et T > 0,

M_{s,t} = Γ(e^{−(S−s)A} e^{−(T −t)B})F (H_{s,t})

est une martingale sur [0, S] × [0, T] par rapport à la filtration 𝔉_{s,t}. Il suffit de le faire lorsque F = k_{f} = e^{(f−|f|^{2}/2)} pour f ∈ E′. On a

Γ(e^{−(S−s)A} e^{−(T −t)B})k_{f} = k_{C_{S−s}S_{T −t}f}

selon la formule de Mehler, de sorte que

M_{s,t} = exp (N_{s,t} − |N_{s,t}|^{2}/2)

est une martingale en chaque indice, où

N_{s,t} = C_{S−s}S_{T −t}f(H_{s,t})

En effet, N_{s,t} est une martingale en chaque indice (propriété (F.4)), linéaire en ω de sorte que son crochet vaut |N_{s,t}|^{2} d’après [9] et la proposition 9.

IV. \underline{Draps multidimensionnels}

Nous voulons généraliser le drap d’Ornstein-Uhlenbeck stationnaire, nous commençons donc par le cas brownien. Soit λ une mesure gaussienne centrée sur E. Nous considérons l’espace H ⊂ C(IR_{+}^{n}, E) des fonctions ω qui s’écrivent sous la forme

ω(t_{1} … t_{n}) = ∑_{i} ∫_{0}^{t_{i}} φ_{i}(u)du + … +

+ ∑_{α} ∫_{Δ_{α}} φ_{α}(u_{1} … u_{k})du_{1} … du_{k} + … + ∫_{Δ} g(u_{1} … u_{n})du_{1} … du_{n}

où pour tout k ∈ [1 … n] on a noté α = (i_{1} … i_{n}) avec i_{1} < … < i_{n}, la sommation étant effectuée sur tous les α, où Δ_{α} désigne l’ensemble { u_{j} ≤ t_{i_{j}} | 1 ≤ j ≤ k }, et où la fonction φ_{α} appartient à L^{2}(du_{1} … du_{k}). L’espace H est muni de la norme

∥ω∥^{2} = ∑_{i} ∫_{0}^{∞} |φ_{i}(u)|^{2}du + … +

+ ∑_{α} ∫ |φ_{α}(u_{1} … u_{k})|^{2}du_{1} … du_{k} + … + ∫ |g(u_{1} … u_{n})|^{2}du_{1} … du_{n}

où |.| désigne la norme de H(λ).

Nous avons alors le même énoncé qu’au théorème 1 :

11 Théorème : soit n ∈ IN. Il existe une unique mesure μ sur C(IR_{+}^{n}, E) ayant l’espace H(μ) = H pour espace de Cameron-Martin.

Démonstration : : l’unicité est évidente. L’existence se voit par récurrence sur n à partir du théorème 1.

On notera comme plus haut que μ est portée par un sous-espace lusinien Ω_{n} de C(IR_{+}^{n}, E).

On a une décomposition des coordonnées W_{t} analogue à la décomposition (3)

W_{t} = ∑_{k} ∑_{α} X_{t_{1}...t_{k}}^{α}

où t = (t_{1} … t_{n}) ∈ IR_{+}^{n}.

Toute forme linéaire μ-mesurable F admet la représentation de Wiener-Itô

F (ω) = ∑_{k} ∑_{α} ∫ ⟨φ_{α}, d^{k}X_{t_{1}...t_{k}}^{α}⟩

Chaque terme de cette somme est l’unique prolongement linéaire μ-mesurable de la forme linéaire continue G_{α} définie par

G_{α}(u) = ∫∫ ⟨φ_{α}, \frac{∂^{k}u}{∂t_{i_{1}} … ∂t_{i_{k}}} ⟩dt_{i_{1}} … dt_{i_{n}}

On note 𝔉_{t}^{i} la tribu engendrée par les W_{s} pour s de la forme s = (s_{1} … s_{n}) où s_{i} ≤ t_{i}. Ce réseau de tribus vérifie la condition (F4) de Cairoli et Walsh.

Passons maintenant au drap multiple d’Ornstein-Uhlenbeck. On se donne un système de semi-groupes C_{s}^{i} = e^{−sA_{i}} hermitiens contractant et fortement continus de l’espace H(λ). On suppose que ces semi-groupes commutent.

Considérons le problème de Cauchy-Langevin

\begin{cases}ω̃(0, 0) & = ω(0, 0) \\ [∏_{j=1}^{k}(A_{i_{j}} + \frac{∂}{∂s_{i_{j}}})] ω̃(τ_{α}) & = φ_{α}(t_{α}) \end{cases}

cette équation est posée pour chaque α = (i_{1} … i_{k}) où i_{1} < … < i_{k}, k variant de 1 à n, où t_{α} = (t_{i_{1}} … t_{i_{k}}), et τ_{α} = (t′_{1} … t′_{n}) où t′_{i} = 0 si i ∉ α et t′_{i} = t_{i} si i ∈ α. Il y a en tout 2^{n} équations.

Ce système admet la solution unique

ω̃(t) = C_{t}ω(0) + .. + ∑_{k} ∑_{α} C_{τ_{α}}^{α} ∫_{Δ_{α}} C_{t_{α}}^{α}φ_{α}(u_{α})d^{k}u_{α}

où ω̃ ∈ H(μ). Dans cette formule, Δ_{α} désigne le pavé Π_{j=1}^{k}[0, t_{i_{j}}] L’application ω → ω̃ est ainsi un opérateur continu de H(μ). Son prolongement linéaire μ-mesurable est donné par

H_{t} = C_{t}H_{0} + .. + ∑_{k} ∑_{α} C_{τ_{α}}^{α} ∫_{Δ_{α}} C_{t_{α}}^{α}d^{k}X_{t_{α}}^{α}

On en déduit comme plus haut la continuité des trajectoires.

12 Proposition : pour t_{i} ≤ T_{i}, on a

𝔉_{t}H_{T} = C_{T −t}H_{t}

où 𝔉_{t} désigne l’opérateur d’espérance sur la tribu engendrée par les W_{u} pour u ≤ t.

Démonstration : : la raison est la même qu’au corollaire 5. Nous faisons comme plus haut l’hypothèse de régularité : \underline{Hypothèse (R)} : tous les opérateurs \sqrt{A^{α}} sont prolongeables en opérateurs λmesurables de E. 13 Proposition : le processus

H_{t} = C_{t}H_{0} + .. + ∑_{k} \sqrt{2^{k}A^{α}} ∑_{α} C_{τ_{α}}^{α} ∫_{Δ_{α}} C_{t_{α}}^{α}d^{k}X_{t_{α}}^{α}

est presque sûrement à trajectoires continues. Démonstration : : identique à celle de la proposition 7. 14 Proposition : pour t_{i} ≤ T_{i}, on a

𝔉_{t}H_{T} = C_{T −t}H_{t}

et la loi de H_{t} est λ. Démonstration : : la raison est la même qu’en proposition 9. On en déduit alors comme plus haut que le multi-processus H_{t} est stationnaire.

V. \underline{Application à la capacité}

Pour simplifier les notations, nous nous plaçons ici dans le cas de deux indices, l’extension aux multi-indices étant évidente. Nous faisons toujours l’hypothèse (R) de régularité. On considère la mesure de probabilité sur IR_{+}^{2} définie par

ρ(ds, dt) = π^{−1}(st)^{−1/2} e^{−s−t} dsdt

et le noyau

Uf = ∫∫_{IR_{2}_{+}} Γ(e^{−sA−tB})fρ(ds, dt)

défini pour toute f borélienne bornée sur E.

Si g ≥ 0 est une fonction s.c.i. , on définit

C(g) = Inf{ N_{2}(h) | Uh ≥ gλpresque partout }

puis pour f quelconque

C(f) = Inf{ C(g) | g s.c.i. ≥ |f| }

La capacité C a des propriétés analogues aux capacités C_{p}^{A,ρ} définies dans [8]. En particulier, nous avons

15 Théorème : C est tendue sur les compacts de E.

Démonstration : : soit θ l’image de λ par l’opérateur prolongé \sqrt{(I + A)(I + B)}. Comme E est fortement convexe, il existe un compact K de mesure θ(K) > 0. Soit g la jauge de K, c’est-à-dire la fonction définie par

g(x) = Inf{ λ > 0 | x ∈ λK }

On sait (cf. [FLP.2]) que g est s.c.i. finie θ-presque partout. D’après le théorème de Hahn-Banach et la propriété de Lindelöf de E (cf. [4], n^{o}67), g est l’enveloppe supérieure d’une suite de formes linéaires continues f_{i} ∈ E′. Soit

V = ∫∫ e^{−sA−tB} ρ(ds, dt) = ((I + A)(I + B))^{−1/2}

L’opérateur V^{−1} est linéairement prolongeable en opérateur λ-mesurable de E d’après [8]. En posant h_{i} = f_{i} ∘ V^{−1}, on trouve une suite d’éléments h_{i} ∈ H′, dont on notera q l’enveloppe supérieure. On a ∫ gdθ < +∞ de sorte que q est λ-mesurable et vérifie ∫ qdλ = ∫ gdθ < +∞. On a pour tout i

2h_{i}(C_{s}x) = h_{i}(C_{s}x + C′_{s}y) + h_{i}(C_{s}x − C′_{s}y)

pour tout (x, y) ∈ E ×E, où C′s = \sqrt{1 − C_{s}^{2}} (prolongement linéaire λ-mesurable). Pour tout t ∈ IR l’intégration en y fournit

h_{i}(C_{s}x) = Γ(e^{−sA})h_{i}(x)

Le même raisonnement pour l’opérateur B fournit

h_{i}(C_{s}S_{t}x) = Γ(e^{−sA−tB})h_{i}(x) ≤ Γ(e^{−sA−tB})q(x)

L’intégration au sens de Bochner fournit h_{i} ∘ V ≤ Uq λ-presque partout. On en déduit g = q ∘ V ≤ Uq λ-presque partout. Soit alors l’ouvert G_{n} = {g > n}. On a

C(G_{n}) ≤ N_{2}(q)/n

qui tend vers 0 quand n tend vers +∞.

C’est maintenant une routine de montrer la suite d’inégalités suivantes de [1],[2],[12],[13],[14].

16 Théorème : si f ∈ L^{2}(λ), on a

IE(∫_{IR_{2}_{+}} e^{−s−t} f(H_{s,t})))^{2} = N_{2}(Uf)^{2}

et

IE(Sup_{s,t}[∫_{u≤s,v≤t} e^{−u−v} f(H_{u,v})dudv]^{2}) ≤ KN_{2}(Uf)^{2}

où K est une constante, et pour toute fonction borélienne f

IE( Sup_{t∈IR_{+}^{2}}[e^{−s−t} f(H_{s,t})]^{2}) ≤ 16C(f)^{2}

K′C(f)^{2} ≤ IE( Sup_{s,t≤T} f^{2}(H_{s,t})) ≤ K′′C(f)^{2}

où K′ et K′′ sont des constantes.

On en déduit que les ensembles évités par les bi-trajectoires sont les ensembles Cpolaires. Les fonctions continues sur μ-presque toute trajectoire sont les fonctions C-quasi-continues.

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D.Feyel A.de La Pradelle Université d’Evry-Val d’Essonne Université Paris VI Equipe d’Analyse et de Probabilités UA 754 au CNRS Bureau B-313 Tour 46-0, bureau 413 Boulevard des Coquibus 4 place Jussieu 91025 Evry Cedex 75230 Paris Cedex 05