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Je suis actuellement en post-doctorat au LAGA à l'Université Paris 13 où je travaille avec Thomas Duyckaerts sur le comportement qualitatif de certaines équations d'ondes non linéaires. Le but de notre travail est de démontrer, pour les solutions qui explosent en temps fini, une borne inférieure de leur norme de Sobolev critique au temps d'explosion. En suivant l'article de F. Merle et P. Raphaël (Blow-up for some critical norm for the radial $L^2$ supercritical NLS, Amer. J. Math. 130 (2008), no. 4, pp 945 - 978), nous avons d'abord montré que pour les solutions d'énergie finie, cette norme n'est pas bornée au temps d'explosion. Nous cherchons maintenant à préciser ce résultat en trouvant, comme dans [Merle, Raphaël], une borne inférieure de la norme critique. La version actuelle de notre travail est accessible ici. En 2013-2014, j'ai travaillé à l'Université Paris-Sud avec Olivier Coulaud et Geneviève Raugel dans le cadre d'un ATER. Pendant cette année, nous avons considéré une approximation hyperbolique quasilinéaire des équations de Navier-Stokes (NS) qui a été étudiée par Racke et Saal, par Fan et Ozawa puis par Schöwe. Ces équations sont obtenues en introduisant un paramètre de retard dans la loi constitutive du tenseur de déformation de (NS), selon l'idée de Cattaneo. Dans notre travail, nous améliorons les résultats précédents d'existence locale, globale et d'unicité. Nous cherchons aussi à démontrer des estimées de convergence vers (NS). J'ai effectué ma thèse sous la direction de Valeria Banica et Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset à l'Université d'Evry. J'ai soutenu le 15 novembre 2013. Le fichier .pdf est téléchargeable ici. Mon travail a porté sur l'étude de deux approximations hyperboliques des équations de Navier-Stokes incompressibles en dimensions 2 et 3 d'espace. Dans un premier temps, on considère une perturbation hyperbolique de l'équation de la chaleur, introduite par Cattaneo en 1949, pour remédier au paradoxe de la propagation instantanée de cette équation. En 2004, Brenier, Natalini et Puel remarquent que la même perturbation, qui consiste à rajouter $\eps \partial_{tt}$ à l'équation, intervient en relaxant les équations d'Euler. En dimension 2, les auteurs montrent que, pour des données régulières et sous certaines hypothèses de petitesse, la solution globale de la perturbation converge vers l'unique solution globale de $(NS)$. En 2007, Paicu et Raugel améliorent les résultats de [BNP] en étendant la théorie à la dimension 3 et en prenant des données beaucoup moins régulières. Nous avons obtenu des résultats de convergence, avec données de régularité quasi-critique, qui complètent et prolongent ceux de [BNP] et [PR]. La seconde approximation que l'on considère est un nouveau modèle hyperbolique à vitesse de propagation finie. Ce modèle est obtenu en pénalisant la contrainte d'incompressibilité dans la perturbation de Cattaneo. Nous prouvons que les résultats d'existence globale et de convergence du précédent modèle sont encore vrais pour celui-ci.

Prépublications et Publications
Global existence for a damped wave equation and convergence towards a solution of the Navier-Stokes problem, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, Volume 96, February 2014, Pages 68-86, ISSN 0362-546X, http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2013.10.020


A finite speed of propagation approximation for the incompressible Navier-Stokes equations, submitted

Exposés

Séminaire EDP du LAGA, Novembre 2014
Conférence "Equations de Schrödinger et Applications" au CIRM, Luminy, Juin 2014
Journées des Jeunes EDPistes Français, Fréjus, Mars 2014
Séminaire EDP du LAMFA, Amiens, Mars 2014
Séminaire EDP d'Evry, Novembre 2013
Poster au Journées EDP, Biarritz, Juin 2013
Colloque "Les 20 ans du L.A.P.", Novembre 2012
Les XVèmes rencontres mathématiques de Tunisie, Juillet 2012
Groupe de travail Scattering et Stabilité de Bordeaux, Juin 2012
Séminaire E.D.P. d'Evry, Juin 2012
Séminaire des doctorants d'Orsay, Mai 2012
Séminaire des doctorants de l'Université Paris-Est, Avril 2012
Séminaire E.D.P. de l'Ecole Polytechnique de Tunisie, Avril 2012

Liens

Séminaires
Séminaire d'Analyse d'Evry.
Séminaire d'Analyse Numérique et E.D.P d'Orsay.

Enseignement